\documentclass[a4paper,titlepage,twoside]{article}
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\usepackage{amsmath}
\author{Michael Nirschl, Moritz Ringler}
\title{Protokoll zum FP-Versuch K125\\
Nukleare Elektronik und Lebensdauermessung}
\date{18./19.10.1999}
\newcommand{\fremdspr}{\textit}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Thema}
In diesem Versuch wird mithilfe von zwei Szintillationsdetektoren
und einer angeschlossenen Fast-Slow-Koinzidenzelektronik die
Lebensdauer des $5/2^{+}$-Niveaus bei 482~keV in $^{181}$Tantal
gemessen. Zur Zeiteichung und zur Bestimmung der Zeitaufl"osung
werden zuvor an einem $^{22}$Na-Pr"aparat Promptkurven aufgenommen.\\
Ferner wird die Energieaufl"osung der beiden
NaI(Tl)-Szintillationsdetektoren und Photomultiplier untersucht.\\
Schlie"slich wird in einer weiteren Messung die
Abh"angigkeit der Zeitaufl"osung von der Energie bestimmt.

\section{Beschreibung}

\subsection{Slow-Koinzidenz und Aufnahme des $^{22}$Na-Spektrums}
In die Mitte zwischen zwei NaI(Tl)-Szintillationsdetektoren (Re
und Li), die sich im Abstand von ca. 10~cm in gerader Linie
gegen"uberstehen (180$^{\circ}$-Winkel), wird eine Probe
$_{11}^{22}$Na eingebracht. Die Hochspannungsversorgung f"ur die Photomultiplier an den
Szintillatoren wird eingeschaltet und auf ca. 1,6~kV geregelt.

$^{22}$Na zerf"allt mit einer Halbwertszeit von 2,6 Jahren in den angeregten $2^{+}$-Zustand des Tochternuklids 
$^{22}$Ne (K-Einfang). Dieser zerf"allt unter Emission eines 1275~keV-Gammaquants in den $0^{+}$-Grundzustand 
(\mbox{T$_{1/2} = 3,63$ps}).\newline Die von dem Pr"aparat emittierte Strahlung gibt ihre Energie an das 
Szintillatormaterial ab, indem sie z. B. Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband hebt oder Exzitonen (lose 
gekoppelte Elektron-Loch-Paare) erzeugt. Diese rekombinieren -- insbesondere an den Tl-St"orstellen -- und emittieren 
dabei elektromagnetische Strahlung im Bereich um 413~nm. Die Intensit"at des Lichtsignals ist dabei proportional zur 
Energie des detektierten Strahlungsquants.\\ Die Photonen aus dem Szintillator setzen dann in der Photokathode des 
Photomultipliers Prim"arelektronen frei (Photoeffekt), die im Sekund"arelektronenvervielfacher von Dynode zu Dynode 
beschleunigt werden und dabei weitere Elektronen freisetzen. Das Ausgangssignal bleibt dabei weitgehend proportional 
zum Eingangssignal und damit zur Energie des registrierten Teilchens, kann also zur Spektroskopie benutzt werden. 
Tats"achlich wird zur Energiebestimmung des Pulses das Signal einer der hinteren Dynoden (Slow-Pulse) genutzt, da 
dieses weniger saturiert und damit strenger linear als das Anodensignal ist. Der Slow-Pulse hat positive Polarit"at, da 
jede Dynode eine negative Elektronenbilanz hat (die Anzahl der Elektronen die freigesetzt werden ist gr"o"ser als die 
der Elektronen, die von der vorhergehenden Dynode eintreffen). Das Anodensignal (Fast Pulse) ist weniger linear, hat 
aber eine k"urzere Anstiegszeit und ist aufgrunddessen weniger anf"allig gegen \fremdspr{time jitter}; es wird daher 
zum Timing genutzt. Dieses Signal hat, da es von der Anode der Multiplier-R"ohre abgenommen wird, negative Polarit"at. 

Es wird nun zun"achst das Slow-Pulse-Signal oszilloskopiert. Man beobachtet Linien mit der typischen
Signalform eines relativ flachen Exponentialabfalls ($\tau \approx 23\mu$s) nach kurzem Gau"s-Anstieg
(Abb.~\ref{Slow-Pulse}). Die Peaks liegen fast alle unterhalb 8~V.
Ein deutliches Maximum der Intensit"at zeigt sich bei einer Pulsamplitude von etwa
4~V. Diese Linie wird dadurch identifiziert als die
511~keV-Linie
aus dem Elektroneneinfang des $^{22}$Na (ein $\beta^{+}$ aus dem Zerfall und ein H"ullelektron
zerstrahlen zu zwei $\gamma$-Quanten mit Energie
$m_{e}c^{2}=511$~keV, die in etwa im 180$^{\circ}$-Winkel emittiert
werden).
\begin{figure}[htbp]
\vspace{10cm}
\caption{Slow-Pulse des Photomultipliers} \label{Slow-Pulse}
\end{figure}

Anschlie"send wird das Ausgangssignal des Hauptverst"arkers (Ortec
Model 452 Spectroscopy Amplifier) oszilloskopiert. Der
Verst"arkungsfaktor wird so geregelt, da"s die Amplitude des
511~keV"~Pulses bei etwa 4V liegt. Der Puls durchl"auft im
Verst"arker ein Pulsformungsnetzwerk in Gestalt eines CR-RC-CR-Gliedes
(Doppel-Differenzierer). Dadurch wird ein bipolarer Puls
(Abb.~\ref{Pulsformung}) erzeugt. Die positive erste Pulsh"alfte steigt innerhalb von ca.
1,5~$\mu$s auf die Maximalamplitude an und f"allt dann in
ungef"ahr der gleichen Zeit wieder auf Null ab. Innerhalb von
1--1,5 weiteren $\mu$s sinkt die Spannung dann auf einen negativen
Minimalwert von ungef"ahr einem Drittel des positiven
Spitzenwertes und steigt dann langsam gegen Null ($\tau \approx
3~\mu$s). Die durch die Pulsformung erzielten k"urzeren Pulszeiten
erm"oglichen eine exaktere und schnellere Signalverarbeitung.

Jetzt wird das Hauptverst"arkerausgangssignal geteilt und ein
Zweig mit einem offenen Single-Channel-Analyzer (SCA) in einen Logik-Puls
umgewandelt. Dieser wird jetzt auf den zweiten Kanal des
Oszilloskops gegeben und zum Triggern benutzt. Der zweite Zweig
des Hauptverst"arkersignals wird "uber einen Delay-Amplifier auf
das Oszilloskop gef"uhrt. Die Verz"ogerung wird dabei so eingestellt (ca. 3,75~$\mu$s),
da"s das Hauptverst"arkersignal nach dem SCA-Signal eintrifft,
jedoch das SCA-Signal das Maximum des Analogpulses noch
"uberdeckt (Abb.~\ref{Pulsformung}) .
\begin{figure}[htbp]
\vspace{12,5cm}
\caption{verz"ogertes Ausgangssignal des Hauptverst"arkers und
SCA-Logik-Puls} \label{Pulsformung}
\end{figure}

Die gleichen Signale werden nun auf den Multi-Channel-Analyzer
(MCA) gegeben. Das SCA-Signal wird als Gate genutzt. Erh"alt der
MCA ein Signal vom SCA, so wird das gleichzeitig eintreffende
Analog-Signal in einem A/D-Wandler diskretisert und der Z"ahler
f"ur das entsprechende Spannungsband wird um 1 inkrementiert. Im
verwendeten Modus verf"ugt der MCA "uber 1024 Kan"ale. Die volle
Spannungs-/Energiebreite wird also in 1024 B"ander unterteilt.\\
Das Spektrum der $^{22}$Na-Quelle wird so vermessen, bis 2000 Counts im Peak erreicht sind.
Neben der 511"~keV"~Linie ist am oberen Ende des
Spektrums bei 1275~keV schwach das Maximum aus dem Zerfall
des angeregten $2^{+}$-Zustandes des Tochterisotops $^{22}_{10}$Ne
in den $0^{+}$"~Grundzustand zu sehen. Beide Peaks sind ann"ahernd
Gau"skurven-f"ormig. Unterhalb des
511~keV"~Peaks ist die Z"ahlrate durch Gammastrahlen erh"oht, die
nicht ihre gesamte Energie im Szintillator verlieren
(Compton-Effekt). Die MCA-Daten werden zur weiteren Auswertung auf
einen PC "ubertragen.

Das Prinzip der Fast-Slow-Koinzidenz beruht darauf, da"s man zwei Auswahlkriterien
f"ur ein Doppelereignis hat: die Energien der Pulse und ihren zeitlichen Abstand.
Die Fast-Pulse mit ihrer steilen Anstiegsflanke werden benutzt, um
die Zeitbedingung zu "uberpfr"ufen bzw. in diesem Fall um eine
Zeitmessung durchzuf"uhren. Die linearen Slow-Pulse werden genutzt,
um eine Energieauswahl zu treffen.\newline
Dazu wird nun das SCA-Fenster auf die 511~keV"~Linie eingestellt. Das hei"st, der
SCA erzeugt nur noch dann einen Logik-Puls wenn die Amplitude des
Analogsignals in einem einstellbaren Spannungs- bzw. Energiefenster liegt.\\
Das Fenster wird verkleinert und gleichzeitig kontinuierlich das
Spektrum aufgenommen. Untere Schwelle und Fensterbreite werden so
eingestellt, dass auf dem MCA nur noch  Ereignisse registriert werden,
die in einem Intervall um den 511~keV"~Peak liegen, das
etwas gr"o"ser ist als die Halbwertsbreite (FWHM) des Peaks.
Gleichzeitig wird darauf geachtet, da"s sich der Schwerpunkt der
Kurve nicht verschiebt, d.~h. rechts und links werden gleiche Teile
der Gau"skurve ausgeblendet, das Fenster soll symmetrisch um den
Peak liegen.

Anschlie"send wird nochmals wie oben das Hauptverst"arkersignal mit dem SCA
als Trigger oszilloskopiert (Abb.~\ref{511keV}). Erwartungsgem"a"s sind jetzt nur noch
Kurven in einem schmalen Band, eben dem 511~keV"~Band, sichtbar.
Au"serdem trifft das SCA-Signal jetzt erst sp"ater ein als zuvor,
da es erst beim Erreichen des Schwellenwertes ausgel"ost wird.
\begin{figure}[htbp]
\vspace{4,5cm}
\caption{Hauptverst"arkersignal und SCA-Signal nach Einstellung
des Energiefensters auf die 511~keV"~Linie} \label{511keV}
\end{figure}

Die gleichen Schritte werden mit dem zweiten Detektor wiederholt.
Die SCA-Signale der zwei Detektoren werden oszilloskopiert, und mittels der
Delay-Schrauben an den SCAs werden die Logik-Pulse so verz"ogert,
da"s sie sich vollst"andig "uberlappen (Abb.~\ref{slowCo})
\begin{figure}[htb]
\vspace{7cm}
\caption{SCA-Signale im Slow-Koinzidenzkreis} \label{slowCo}
\end{figure}
Dann werden sie in einer Koinzidenzeinheit (logisches UND)
zusammengef"uhrt. An deren Ausgang erscheint nun ein Logikpuls,
wenn an beiden Detektoren (gleichzeitig, Toleranz $\approx2,5+3=5,5 \mu$s) ein Signal der
entsprechenden Energie (511~keV) eintrifft.

\subsection{Fast-Koinzidenz}
Die Fast-Pulse dienen bei der Fast-Slow-Koinzidenz dazu zeitliche
Abst"ande zu pr"ufen oder wie hier zu messen. Dazu wird ein
Fast-Koinzidenzkreis eingerichtet.\newline
Im ersten Schritt werden am Photomultiplier die Fastpulse abgenommen und
oszilloskopiert (Abb.~\ref{Fast-Pulse}). Wie oben erkl"art haben sie negative Polarit"at.
Nach kurzem, scharfem Anstieg f"allt ihre Amplitude relativ
schnell exponentiell ab ($\tau \approx 2,5~\mu$s), eine Pulsformung kann daher hier
entfallen.
\begin{figure}[htbp]
\vspace{6cm}
\caption{Fast-Pulse der Photomultiplier} \label{Fast-Pulse}
\end{figure}

Um Rauschen zu unterdr"ucken und um die weitere Verarbeitung durch
eine Logik-Schaltung zu erm"oglichen, wird jedes der Fast-Signale
durch einen schnellen Diskriminator in einen Logik-Puls
umgewandelt. Der Diskriminator erzeugt einen Logik-Puls, wenn die
Amplitude des Analog-Signals einen bestimmten Minimalwert
"uberschreitet. Vor der eigentlichen Diskriminatorstufe enth"alt
der Diskriminator noch einen Verst"arker. Das Fast-Signal wird nun
mit dem Diskriminatorpuls als Trigger oszilloskopiert. Der
Verst"arker wird so eingestellt, da"s das Rauschen, welches auf
dem Oszilloskop als intensive Grundlinie erscheint, gerade unter
der Diskriminatorschwelle liegt, also auf dem Oszilloskop gerade
nicht sichtbar ist. Durch die niedrige Diskriminatorschwelle wird
die Zeitaufl"osung verbessert (\fremdspr{time walk}, s.~Abb.~\ref{walk}).

Der Ausgang des einen Diskriminators wird jetzt
mit einem weiteren Delay etwa 50~ns vez"ogert und auf den
STOP-Eingang eines Zeit-Analog-Wandlers (TAC,
Zeitpulsh"ohenwandler) gegeben, das unverz"ogerte Signal
dementsprechend auf den START-Eingang. Der TAC setzt nun die Zeit
zwischen dem Eintreffen der beiden Signale in die Pulsh"ohe eines
Analog-Signals um, das nach dem Eintreffen des STOP-Signals auf
dem Ausgang des TAC erscheint. Dies kann z. B. realisiert werden
durch die lineare Aufladung eines Kondensators. Der Zeitbereich
(Range) des TAC wird auf 100~ns gestellt, so da"s das zweite Signal
eines Koinzidenz-Ereignisses sicher innerhalb des Zeitfensters
ankommt, gleichzeitig aber die Zahl der zuf"alligen Koinzidenzen
klein und die Zeitaufl"osung hoch gehalten wird. Als
Maximalamplitude wird 8~V eingestellt. Das bipolare Signal am Ausgang des
TAC wird oszilloskopiert (Abb.~\ref{FSC}). Es hat entsprechend der Verz"ogerung von
\mbox{50~ns} eine Amplitude von ca. 4~V. Der Ausgang des TAC wird
in einem weiteren Delay verz"ogert. Das TAC-Signal und das Signal
der Slow-Koinzidenz werden gegeneinander oszilloskopiert. Das
Delay wird so eingestell (3~$\mu$s), da"s sich die positive
H"alfte des TAC-Signals vollst"andig innerhalb des durch die
Slow-Koinzidenz gesetzten Zeitfensters befindet (Abb.~\ref{FSC}).
\begin{figure}[htbp]
\vspace{10cm}
\caption{TAC-Ausgangssignal und Slow-Koinzidenz} \label{FSC}
\end{figure}

\subsection{Zeiteichung der Koinzidenzanordnung}
Das TAC-Signal (Zeitabstand der Fast-Pulse) wird auf den
Direct-Eingang des MCA gegeben. Der Ausgang der Slow-Koinzidenz
wird als Gate verwendet (Energieauswahl). Der MCA registriert
jetzt also den Zeitabstand von 511~keV-Ereignissen, die in den
beiden Z"ahlern eintreffen. Da diese bis auf die geringe Zahl
zuf"alliger Koinzidenzen aus der erw"ahnten Paarvernichtung
stammen, sollte sich theoretisch eine Delta-Distribution am
Zeitnullpunkt der Koinzidenzanordnung ausbilden. Da aber
tats"achlich durch Detektoren und Me"sapparatur bedingt
Fluktuationen in der zeitlichen Korrelation der Signale
auftreten, nimmt man tats"achlich eine Gau"skurve auf,
deren Halbwertsbreite ein Ma"s f"ur die Zeitaufl"osung der
Apparatur ist. Diese Kurve wird Promptkurve $P(t)$ genannt.
Sie wird mit Hilfe des Delays nacheinander um $\pm$16~ns und
$\pm$32~ns verschoben mit gleicher H"ohe (2000 Counts im Peak) nochmals
aufgenommen, so da"s nun eine "Uberlagerung von 5
Gau"skurven im Abstand von 16~ns auf dem MCA erscheint, deren mittlere den
Zeitnullpunkt der Anordnung markiert. Hieraus kann
die Zeiteichung der Koinzidenzanordnung abgeleitet werden.

\subsection{Lebensdauermessung}
Die $^{22}_{11}$Na-Quelle wird durch eine $^{181}_{72}$Hf-Quelle
ersetzt. Das Isotop $^{181}$Hf ist $\beta^{-}$-aktiv \mbox{(T$_{1/2} = 42,4$d)}.
Es zerf"allt "uberwiegend (93\%) in das angeregte $1/2^{+}$-Niveau
von $^{181}_{73}$Ta
bei 615~keV Anregungsenergie. Dieses zerf"allt in einer
$\gamma$"~$\gamma$--Kaskade zun"achst mit einer Halbwertszeit von
17,8~$\mu$s in den $5/2^{+}$-Zustand
(482~keV) und von dort in den $7/2^{+}$-Grundzustand. Die Gammaenergien betragen
also 133~keV bzw. 482~keV.
Die mittlere Zeit zwischen diesen beiden "Uberg"angen und damit die Lebensdauer
des $5/2^{+}$-Zustandes soll mit der Koinzidenzanordnung gemessen werden.

Es wird vorgegangen wie bei der Na-Messung.
Zun"achst wird das Detektorsignal oszilloskopiert
(\mbox{Abb.~\ref{HfDet}, \ref{HfAmp}}). Sodann nimmt man mit dem
MCA das Spektrum der Quelle auf. Bei beiden Messungen treten jetzt
statt der Na-Linien Linien bei 133~keV, 482~keV und 343~keV auf.
Letztere stammt aus der Zerfallsreihe des ebenfalls im Pr"aparat
anwesenden $^{175}$Hf.
\begin{figure}[hbtp]
\vspace{6,5cm}
\caption{PM-Slow-Pulse bei $^{181}$Hf} \label{HfDet}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\vspace{8,5cm}
\caption{PM-Slow-Pulse bei $^{181}$Hf nach Pulsformung} \label{HfAmp}
\end{figure}

Das SCA-Fenster des Start-Slow-Zweiges wird
auf 133~keV, dasjenige des Stop-Slow-Zweiges auf die
482~keV"~Linie eingestellt. Nach "Uberpr"ufung der Koinzidenzen
wird die Lebensdauerkurve aufgenommen wie zuvor die erste
Promptkurve. Als Lebensdauerkurve sollte idealerweise eine
exponentielle Zerfallskurve der Form
\begin{equation}N(t)\sim\frac{1}{\tau} e^{(-t/ \tau)}\end{equation}
aufgenommen werden. Tats"achlich erscheint aufgrund der endlichen Zeitaufl"osung
die Faltung mit der Promptkurve
\begin{equation}N(t)=\frac{1}{\tau}\int_{-\infty}^{\infty}P(T-t)e^{-t/\tau}dx=
\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\infty}P(T-t)e^{-t/\tau}dx.
\label{Koinzidenzkurve}\end{equation}
Diese wird auf ihrer linken Flanke durch den Gau"sanstieg bestimmt
ein St"uck rechts vom Maximum durch den Exponentialabfall der
Zerfallskurve; im halblogarithmischen Plot erscheint er als abfallende Gerade.

\subsection{Prompt-Kurve mit Hf-Fenstern}
Mit den gleichen Einstellungen wie bei der Lebensdauermessung wird
jetzt nochmal das $^{22}$Na-Pr"aparat vermessen. Auf dem MCA sieht
man nun eine Promptkurve deren linker Teil eine gr"o"sere
Breite hat als der rechte. Das Startsignal (482~keV) stammt
noch aus dem 511~keV"~Peak des Na, das Stopsignal aus dem
Comptonbereich des Na-Spektrums.
Die Asymmetrie der Promptkurve weist darauf hin, da"s das Stop-Signal
eine bessere Zeitaufl"osung hat als das Startsignal.

\newpage
\section{Ergebnisse und Fehler}

\subsection{Energieeichung und -aufl"osung}

\subsubsection{Eichung}
An die Peaks der Hf- und der Na-Spektren werden mit dem Rechner
Gau"skurven gefittet. Dabei werden der Untergrund und der Einflu"s
benachbarter Peaks ber"ucksichtigt. Es ergeben sich
die Werte in Tabelle~\ref{Energie}.\\
\begin{table}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|cccc|r|}
\hline
Energie&133~keV&343~keV&482~keV&511~keV&\\
\hline
Kanal&62&284,5&455,5&483&Start-Detektor\\
Fehler&11&27&37&37&\\
FWHM&53&106&160&94,5&\\
FWHM/keV&47&94&142&84&\\
Aufl"osung/\%&35,3&27,4&29,5&16,4&\\
\hline
Kanal&67,5&313&468,5&514&Stop-Detektor\\
Fehler&11&29&38&39&\\
FWHM&62&108,5&113,5&128&\\
FWHM/keV&53&93&97&109&\\
Aufl"osung&39,8&27,1&20,1&21,3&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Peaks von $^{22}$Na, $^{181}$Hf, $^{175}$Hf}
\label{Energie}
\end{table}
\begin{tabbing}
Die Me"swerte tragen haupts"achlichl x-Fehler.\\
Systematische Fehler bei der Aufnahme des Spektrums:\\
Nichtlinearit"at des NaI(Tl)-Szintillators:\qquad \= $<$ \=7\% (s.~Abb.~\ref{Linearity})\\
Nichtlinearit"at des PM und der Elektronik:\> $\approx$\>2\%\\
zuf"allige Fehler:\\
Auswertung des Spektrums, Kurvenfit:\quad\> $<$\>10 channel f"ur 133 keV, 511 keV\\
\quad\>\> 15--20 channel f"ur 343 keV, 482 keV\\
\end{tabbing}
Statistisch verteilte Fehler der Einzelmessungen (ein Ereignis) k"onnen dagegenzu vernachl"assigt werden.
Denn der Fehler des Mittelwerts einer Stichprobe des Umfangs $n$ einer Gau"s-verteilten Gr"o"se
berechnet sich nach
\begin{equation} \sigma(\overline{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation}
aus den Fehlern einer Einzelmessung. Durch die gro"se Zahl der Messungen wird dieser Fehler hier sehr
klein.\\
Es ergeben sich damit bei Gau"s-Fehlerfortpflanzung ungef"ahr die absoluten Fehler in Tabelle~\ref{Energie}.
Die Fehler der Halbwertsbreiten sind in der gleichen Gr"o"senordnung wie diejenigen der Peaks, sie
werden in erster Linie durch die Ungenauigkeit des Fits verursacht.
\begin{figure}
\vspace{6cm}
\caption{Nichtlinearit"at eines NaI(Tl)-Szintillators bezogen auf $^{137}$Cs}\label{Linearity}
\end{figure}

Mittels Geradenfits wird die Eichung des Startdetektors bestimmt als
\begin{equation}E = 81,7 \textrm{ keV} + 0,889 \textrm{ keV} \cdot Kanalnummer,\end{equation} wobei der
Achsenabschnitt einen Fehler von ca. 20~keV und die Steigung einen
Fehler von 0,06~keV aufweist.\\
F"ur den Stop-Detektor ergibt der Geradenfit
\begin{equation}E = 75,6 \textrm{ keV} + 0,856 \textrm{ keV} \cdot Kanalnummer,\end{equation} wobei der
Achsenabschnitt einen Fehler von 16~keV und die Steigung einen
Fehler von 0,07~keV aufweist.

\subsubsection{Aufl"osung}
Mit dieser Energieeichung kann die Halbwertsbreite der
Peaks in keV umgerechnet werden und hieraus die Energieaufl"osung
des Detektors bei den verschiedenen Energien berechnet werden nach
\begin{equation} R(E) = \frac{FWHM(E)}{E}.\end{equation}
Die theoretische Energieaufl"osung des Szintillators ist
\begin{equation}R(E)=2,35\sqrt{\frac{w}{E}},\end{equation}
wobei $w$ die bei einem einzelnen Ereignis im Detektor (z. B. Compton-Sto"s)
durchschnittlich "ubertragene Energie bezeichnet. An der Aufl"osung des Stopdetektors wird diese Relation
grob gepr"uft: Der Fit von $R(E)$ gegen $\sqrt{E^{-1}}$ zeigt tats"achlich
eine Ursprungsgerade. F"ur $w$ ergibt sich aus einer
Geradensteigung von ($4,5\pm0,5$)$\sqrt{\textrm{keV}}$ ein Wert
von ($3,7\pm0,8$)~keV (der Einflu"s von PM und Elektronik auf die Energieaufl"osung
wurde bei dieser Betrachtung vernachl"assigt).

\subsection{Zeiteichung der Koinzidenzmessung und Zeitaufl"osung}

\subsubsection{Eichung}\label{Zeiteich}
An die f"unf Promptkurven der Na-Eichmessung werden ebenfalls
Gau"skurven gefittet. Die Ergebnisse finden sich in
Tabelle~\ref{Zeiteichung}.
\begin{table}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|ccccc|}
\hline
Zeit/ns&-32&-16&0&16&32\\
\hline
Kanal&155&309,5&467,5&624&777,5\\
FWHM&77,7&77,5&77,3&78,1&74,2\\
Aufl"osung/ns&3,99&3,98&3,97&4,01&3,8\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Zeiteichung der Koinzidenz mit $^{22}$Na-Promptkurven}
\label{Zeiteichung}
\end{table}
\newline
Diese Werte tragen folgende Fehler:
\begin{tabbing}
y-Werte:\\
Fehler des TACs und der Elektronik \=$\approx$\=1\%\kill
Fehler der Delays:\>$\approx$ \>1\%\\
Fehler des TACs und der Elektronik \>$\approx$\>1\%
\end{tabbing}
Konstante Offset-Fehler wie etwa unterschiedliche Kabell"angen in beiden Zweigen verf"alschen die Messung nicht und
gehen daher nicht in die Fehlerberechnung ein.
\begin{tabbing}
x-Werte:\\
Fehler der Delays:\qquad\=$\approx$ \=1\%\kill
Fehler der Gau"sfits:\>\>2--3 Kan"ale
\end{tabbing}
Auch hier gilt wie oben, da"s zuf"allige Schwankungen in der Verarbeitungszeit eines Impulses aufgrund der hohen
Messungszahl praktisch keinen Fehler in der Zeiteichung bewirken.\\
Insgesamt sind diese Fehler so klein, da"s der Geradenfit so durchgef"uhrt wird als seien die Quelldaten fehlerfrei.
Die Eichgerade hat folgende Gleichung:
\begin{equation}t= -47,9ns+ 0,1026ns \cdot Kanalnummer \end{equation}
Fehler des Achsenabschnitts: 5,64ns\newline
Fehler der Steigung: 0,00027\newline
Der tats"achliche Wert dieser Fehler liegt aufgrund der beim Fit gemachte vereinfachende Annahme fehlerfreier
Ausgangsdaten vermutlich um etwa den Faktor 1,5 h"oher. Ferner soll noch bemerkt werden, da"s diese Eichung zuna"chst
f"ur zwei Signale gleicher Energie gilt.

\subsubsection{Aufl"osung}
Als Mittelwert der Zeitaufl"osungen und dessen Fehler ergibt sich
$\overline{\textrm{FWHM}} = \sigma = 7,895\pm$0,020~ns. Die Ursache der Zeitstreuung der Messung wird in
Abschnitt~\ref{zeitauf} diskutiert.

\subsection{Lebensdauer des $5/2^{+}$-Niveaus in $^{181}$Ta}
Zur Bestimmung der Lebensdauer eines angeregten Zustandes aus einer Koinzidenzkurve gibt es mehrere M"oglichkeiten, die sich s"amtlich aus Gleichung~\ref{Koinzidenzkurve} herleiten lassen:
Substituiert man im Faltungsintegral $T-t=x$, so ergibt sich:
\begin{equation}N(T)=\frac{1}{\tau}e^{-T/\tau}\int^{T}_{-\infty}P(x)e^{x/\tau}dx \end{equation}
\begin{equation}\frac{dN}{dT}(T)=\frac{1}{\tau}(P(T)-N(T)) \end{equation}
Daraus folgt zun"achst, da"s die Promptkurve die verz"ogerte Kurve im Maximum schneidet, was bei unserer Messung ann"ahernd erf"ullt
ist. Weiter ist dann
\begin{equation}\frac{d\ln{N}}{dT}(T)=-\frac{1}{\tau}(1-\frac{P(T)}{N(T)}) \end{equation}
F"ur gro"se $T>\sigma$ ist nun $P(T) \ll N(T)$ und damit
\begin{equation}\ln{N(T)}\approx-\frac{1}{\tau}T + C \end{equation}
Die Lebensdauer l"a"st sich also aus der negativen Steigung der abfallenden Geraden im logarithmischen Plot der Koinzidenzkurve
ablesen. Es ergibt sich eine Geradensteigung $m=(-0,0619\pm0,003)$~ns$^{-1}$.
\begin{tabbing}
In diese Messung gehen folgende Fehler ein:\\
x-Werte:\\
Steigungsfehler aus der Zeiteichung (s.~Abschnitt~\ref{Zeiteich}) \qquad \qquad \=\quad\=0,5\%\\
Verarbeitungszeitunterschied aufgrund Energieunterschied\>$\leq$\>1\% \\
(z. B. Laufzeit Photokathode $\rightarrow$ erste Dynode, \fremdspr{time walk} Abb.~\ref{walk}) \\
statistische Schwankungen (\fremdspr{time jitter})\>\>1--2 ns\\
TAC-Fehler\>$\approx$\>1\%\\
y-Werte:\\
statistische Abweichungen\>$\approx$\>5\%\\
au"serdem:
Fehler durch die nichtideale Form der Zerfallskurve\>$\approx$\>5%
\end{tabbing}
Dieser letzte Fehler und der gesamte Fehler aus dem Geradenfit ergeben einen totalen Fehler von ca. 7\% f"ur die
Steigung der Geraden. Das hei"st, da"s die Lebensdauer zwischen 15,1~ns und 17,4~ns liegt.
\begin{figure}
\vspace{6,5cm}
\caption{\fremdspr{Walk}-Effekt in einem Diskriminator oder SCA}\label{walk}
\end{figure}

Eine weitere M"oglichkeit die Lebenszeit aus Koinzidenz-
und Promptkurve zu ermitteln, besteht in der Momentenmethode,
insbesondere der Schwerpunktmethode. Aus Gleichung~\ref{Koinzidenzkurve}
und der Definition des Schwerpunktes einer Kurve g(t)
\begin{equation}M_{1}(g)=\int^{+\infty}_{-\infty}t g(t)dt\end{equation}
l"asst sich ableiten, da"s
\begin{equation}\tau=M_{1}(N) - M_{1}(P).\end{equation}
Der Schwerpunkt unserer Kurve l"a"st sich nicht gut bestimmen, da ein Teil der Kurve fehlt. Allerdings kann man erkennen, da"s der Schwerpunkt in jedem
Fall wesentlich zu nah an dem der Promptkurve liegt. Gew"ohlich wird die Schwerpunktmethode auch nur f"ur
wesentlich kleinere Halbwertszeiten angewandt, bei denen sich die Form der Koinzidenzkurve nicht mehr deutlich von der der
Promptkurve unterscheidet.

\subsection{Energieabh"angingkeit der Zeitaufl"osung}\label{zeitauf}
Bei der Aufnahme der Na-Promptkurve mit den Energiefenstern der Hf-Messung ergibt sich ein deutliches Bild von
der Energieabh"angigkeit der Zeitaufl"osung: Zu negativen Zeiten hin ist diese Promptkurve wesentlich breiter als zu positiven (Tab.~\ref{E-t}).
\begin{table}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|cccc|}
\hline
Flanke&FWHM/Kan"ale&FWTM/Kan"ale&FWHM/ns&FWTM/ns\\
\hline
t$<$0&92&288&9,4&29,5\\
t$>$0&72&158&7,4&16,2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Zeiteichung der Koinzidenz mit $^{22}$Na-Promptkurven}
\label{E-t}
\end{table}
Dies deutet darauf hin, da"s die Zeitaufl"osung des Startsignals
bei 133~keV deutlich schlechter ist als die des Stopsignals bei
482~keV. Die Zeitaufl"osung wird also besser f"ur gr"ossere
Energien. Dieser Effekt d"urfte haupts"achlich auf folgenden
Sachverhalt zur"uckzuf"uhren sein: Da die zeitliche L"ange
eines Signals weitgehend konstant ist, bedeutet eine h"ohere
Amplitude automatisch auch eine steilere Flanke. Geringe
Amplitudenschwankungen ziehen bei einem flachen Signal wesentlich
gr"o"sere Zeitunterschiede beim Erreichen der Diskriminatorschwelle
nach sich als bei einem steilen (Abb.~\ref{jitter}).\\
\begin{figure}[ht]
\vspace{6,4cm}
\caption{Auswirkungen von Amplitudenschwankungen f"ur die Zeitaufl"osung in Abh"angigkeit von der Anstiegsgeschwindigkeit, \fremdspr{Jitter}} \label{jitter}
\end{figure}
Im Detektor selber entstehen zeitliche Schwankungen durch Variationen in der Durchgangszeit der Elektronen (dieser
Effekt ist ebenfalls energieabh"angig) und durch statistisches Rauschen aufgrund der statistischen Natur von
Photoemission und Sekund"aremission.\\
Eine weitere m"ogliche Ursache f"ur die schlechtere Aufl"osung des Start-Signals ist die Tatsache, da"s die 511"~keV"~
Gammas hier ja nur einen Teil Ihrer Energie im Detektor abgeben und die dazu ben"otigte Zeit naturgem"a"s
st"arkeren Schwankungen unterliegt als die Zeit, in der ein 511~keV-Quant (nahezu) seine gesamte Energie abgibt.

"Uberdies best"atigt die letzte Messung noch einmal den Nullpunkt
unserer Zeitskala. Da die Lebensdauermessung zwischen den beiden
Na-Messungen durchgef"uhrt wurde, kann der unerwartete Schwerpunkt der Hf-Kurve
also nicht auf systematische Fehler, wie etwa eine "Anderung
der Apparatur zur"uckgef"uhrt werden.

\section{Diskussion der Ergebnisse}
Die mit Hilfe der Exponentialabfallmethode aus der Koinzidenzkurve ermittelte Lebensdauer $5/2^{+}$-Niveaus in $^{181}$Ta von 15,1 bis 17,4~ns ist
konsistent mit dem Literaturwert von 15,58~ns.\\
Die gemessene Energieaufl"osung $R(E)$ liegt im Bereich des "Ublichen. Die erzielte Zeitaufl"osung ist eher etwas
schlechter als zu erwarten. M"oglicherweise war die Einstellung der Diskriminatorschwelle in den Fast-Zweigen nicht ganz optimal.

\end{document}